tsujimotter

前回：40-32÷2=4!の一般解 (1)

 

まだもう少し続けられそうなので、解なしの部分に関してもう少し考えて見ます。

 

${w=4, z=4}$のとき、

\[x=\frac{4\cdot 20}{3}\]

を満たす解はありませんでした。

$4$は$3$で割れませんから、$20$を$3$が割り切るか考えればよいのですが、$20$の素因数分解は${2\cdot 2\cdot 5}$なので、当然割れませんね。

 

 

同様に${z\geq 3}$のいかなる$z$に対しても、

\[(z-1)|z\]

は成り立ちません。

ここで

${n|m}$${\iff}$ $n$は$m$の約数

したがって、
\[
\begin{equation}
(z-1)|(w!-w)\tag{6}
\end{equation}
\]

が成り立つかどうか判定できればよいことがわかります。

 

ここからが、大きな問題。${w!-w}$の約数なんてどうやって考えたらいいんだと。

 

${w!-w}$は

\[w!-w = w((w-1)!-1)\]

のように因数分解される。

ややこしいな。つまり、${z-1}$が$w$か${(w-1)!-1}$の約数だったらいいわけだ。

 

${(w-1)!-1}$をためしにいくつか計算してみよう。

(4-1)!-1=5
(5-1)!-1=23
(6-1)!-1=119
(7-1)!-1=719
(8-1)!-1=5039
…

あれ、もしかして全部素数？！

※注：この記述には誤りが含まれます

 

つまり、${(w-1)!-1}$が素数と仮定すると、$x$が存在するような$z$は、$z-1$が$w$の約数であるか、または、${(w-1)!-1}$ そのものであるときに限られるということだ！これはすごいかもしれない！

 

ここで、前に計算した$z$の条件を思い出そう。
\[
\begin{equation}
z<(w-1)! \tag{5}
\end{equation}
\]

である。さっきの素数そのものである

\[z-1=(w-1)!-1\]

は、

\[z=(w-1)!\]

であるから、条件を照らし合わせてギリギリアウト！

 

よって、$x$の存在する$z$の条件は、$z-1$が$w$の約数であること、つまり
\[
\begin{equation}
(z-1)|w \tag{7}
\end{equation}
\]

ずいぶんとシンプルになった。

 

確認のために、$w=4$のときを考える。

$4$の約数は$1, 2, 4$。つまり、$z-1=1, 2, 4$ すなわち、$z=2, 3, 5$のときのみに解が存在することが分かればいい。確かにそうなってる！

 

ってことは、$w=5$のときは、約数は$1, 5$だけだから、$z=2, 6$のときだけ探せばいいね！あら簡単！

 

こうやって考えると、任意の$w$に対する解の個数は、約数の個数関数$d(w)$で表せるということ。

※2012/05/12修正：$d(w)$をオイラー関数と言っていましたが、これは違いましたね。

 

これで、結論は出ました。
「40-32÷2=4! に類似する問題はいくつ見つけることが出来るのか」という疑問でしたが、かなりシンプルにまとまったと思います。

結論:

$w$は任意にとってOK。
解はそれぞれの$w$に対して、$d(w)$個とることができる。
$z$は対応する$w$の約数+1。
$x, y$はそれぞれ$w, z$に対して下式の通り一意に求められる。
\[x=\frac{z(w!-w)}{z-1}\]
\[y=x-wz\]

 

おっと、そうは問屋がおろさねえ！ウィキペディアの階乗素数の項目によると、

\[n!-1\]

の形の素数は確かに存在するけれど、全部が素数ではないらしい…オーノー。やっぱりそう簡単にはいかないか。
まぁ、$(w-1)!-1$が合成数なら、素因数分解してしまって、

$z$の条件
\[
\begin{equation}
z<(w-1)! \tag{5}
\end{equation}
\]

を満たすような$z$を、$w$の素因数と$(w-1)!-1$の素因数の組から適当に作って、$x$と$y$を計算すれば求める解が得られます、と言うこともできます。

 

次回以降で、これを実際に計算して、馬鹿でかい数の等式を作ってみましょう。

 

次回：40-32÷2=4!の一般解 (3)