tsujimotter

前回：ベルヌーイ数 (2): ファウルハーバーの公式の証明

今回はベルヌーイ数を具体的に計算します。
\[
\begin{equation}
S_k(n)=\sum_{i=1}^n i^k= 1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k \tag{1}
\end{equation}
\]

前回の議論で(1)で定義されるべき乗和$S_k(n)$の一般的な公式がベルヌーイ数$b_k$を使って、(2)のように表されることを証明しました。
\[
\begin{equation}
S_k(n)=\frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j} b_j n^{k+1-j} \tag{2}
\end{equation}
\]

ここで、ベルヌーイ数$b_k$は、べき乗和の多項式$S_k(x)$の微係数を用いて、
\[
\begin{equation}
b_k=S’_k(0) \tag{3}
\end{equation}
\]

のように導入されました。

べき乗和の公式を求めるためにベルヌーイ数を導入したのに、

ベルヌーイ数を計算するためにべき乗和の微係数が必要なのでは、循環参照ではないかと思うかもしれません。実は、定義に立ち返らずともベルヌーイ数は求めることが出来ます。

式(2)に$n=1$を代入してみましょう。
\[
\begin{equation}
S_k(1)=\frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j} b_j 1^{k+1-j} \tag{4}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\therefore 1=\frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j} b_j \tag{5}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\therefore \sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j} b_j = k+1 \tag{6}
\end{equation}
\]

これに
\[
\begin{equation}
b_0 = 1 \tag{7}
\end{equation}
\]

を加えると、漸化式的に$b_k$を求めることが出来ます。

すなわち、
\[
\begin{eqnarray}
\sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j} b_j &=& k+1 \tag{8}\\
b_0 &=& 1 \tag{9}
\end{eqnarray}
\]

がベルヌーイ数$b_k$の定義式です。

ちょっとわかりにくいですが、実際に計算することが出来ます。やってみましょう。

$b_1$を計算します。
\[
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{1} \binom{2}{j} b_j = \binom{2}{0} b_0 + \binom{2}{1} b_1 =2 \tag{10}
\end{equation}
\]

$b_0=1$より、
\[
\begin{equation}
1\cdot 1 + 2\cdot b_1 =2 \tag{11}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\therefore b_1 =\frac{1}{2} \tag{12}
\end{equation}
\]

ほら、計算できました。どんどん行きましょう。

$b_2$を計算します。
\[
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{2} \binom{3}{j} b_j = \binom{3}{0} b_0 + \binom{3}{1} b_1 + \binom{3}{2} b_2=3 \tag{13}
\end{equation}
\]

$b_0=1, b_1=\frac{1}{2}$より、
\[
\begin{equation}
\therefore 1\cdot 1 + 3\cdot \frac{1}{2} + 3\cdot b_2=3 \tag{14}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\therefore  b_2=\frac{1}{6} \tag{15}
\end{equation}
\]
 

まだまだ行きます。次は$b_3$です。
\[
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{3} \binom{4}{j} b_j = \binom{4}{0} b_0 + \binom{4}{1} b_1 + \binom{4}{2} b_2+\binom{4}{3} b_3=4 \tag{16}
\end{equation}
\]

$b_0=1, b_1=\frac{1}{2}, b_2=\frac{1}{6}$より、
\[
\begin{equation}
\therefore 1\cdot 1 + 4\cdot \frac{1}{2} + 6\cdot \frac{1}{6}+4\cdot b_3=4 \tag{17}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\therefore  b_3=0 \tag{18}
\end{equation}
\]

あれ、0になってしまいました。

そろそろやめておきましょう、$b_4$です。
\[
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{4} \binom{5}{j} b_j = \binom{5}{0} b_0 + \binom{5}{1} b_1 + \binom{5}{2} b_2+\binom{5}{3} b_3+\binom{5}{4} b_4=4 \tag{19}
\end{equation}
\]

$b_0=1, b_1=\frac{1}{2}, b_2=\frac{1}{6}, b_3=0$より、
\[
\begin{equation}
\therefore 1\cdot 1 + 5\cdot \frac{1}{2} + 10\cdot \frac{1}{6}+10\cdot 0+5\cdot b_4=5 \tag{20}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\therefore  b_4=-\frac{1}{30} \tag{21}
\end{equation}
\]

よって$0\leq k\leq 4$までのベルヌーイ数$b_k$が下記の通り得られました。
\[
\begin{equation}
\left\{b_k\right\}=\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, 0, -\frac{1}{30}\right\} \tag{22}
\end{equation}
\]

これを、ファウルハーバーの公式に代入すると、$0\leq k\leq 4$までの$S_k(n)$が得られます。やってみましょう。
\[
\begin{eqnarray}
S_0(n)&=&\frac{1}{0+1} \sum_{j=0}^{0} \binom{0+1}{j} b_j n^{0+1-j}\\
&=&\binom{1}{0} b_0 n\\
&=& n \tag{23}
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
S_1(n)&=&\frac{1}{1+1} \sum_{j=0}^{1} \binom{1+1}{j} b_j n^{1+1-j}\\
&=&\frac{1}{2}\left\{\binom{2}{0} b_0 n^2+\binom{2}{1} b_1 n\right\}\\
&=& \frac{1}{2}\left(n^2+n\right) \tag{24}
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
S_2(n)&=&\frac{1}{2+1} \sum_{j=0}^{2} \binom{1+2}{j} b_j n^{2+1-j}\\
&=&\frac{1}{3}\left\{\binom{3}{0} b_0 n^3+\binom{3}{1} b_1 n^2+\binom{3}{2} b_2 n\right\}\\
&=& \frac{1}{6}\left(2n^3+3n^2+n\right) \tag{25}
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
S_3(n)&=&\frac{1}{3+1} \sum_{j=0}^{3} \binom{1+3}{j} b_j n^{3+1-j}\\
&=&\frac{1}{4}\left\{\binom{4}{0} b_0 n^4+\binom{4}{1} b_1 n^3+\binom{4}{2} b_2 n^2+\binom{4}{3} b_3 n\right\}\\
&=& \frac{1}{4}\left(n^4+2n^3+n^2\right) \tag{26}
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
S_4(n)&=&\frac{1}{4+1} \sum_{j=0}^{4} \binom{1+4}{j} b_j n^{4+1-j}\\
&=&\frac{1}{5}\left\{\binom{5}{0} b_0 n^5+\binom{5}{1} b_1 n^4+\binom{5}{2} b_2 n^3+\binom{5}{3} b_3 n^2+\binom{5}{4} b_4 n\right\}\\
&=& \frac{1}{30}\left(6n^5+15n^4+10n^3-n\right) \tag{27}
\end{eqnarray}
\]

ところで、Wikipediaのベルヌーイ数の項目を見てみると、

$k=1$のときのベルヌーイ数の符号が反転していることがわかります。

これは、定義の違いによるものです。

Wikipediaのようなベルヌーイ数には、次のように変換できます。
\[
\begin{equation}
B_k=(-1)^{k} b_k \tag{28}
\end{equation}
\]

ベルヌーイ数は$k\geq 3$の奇数において $b_k=0$ であり、符号が反転するのは$k=1$のときのみであるとすると、上記は容易に確認できます。

遅くなりましたが、この$B_k$が一般的に言われるベルヌーイ数です。ベルヌーイ数は一般に$B_k$と大文字で表記されることが多いのですが、ファウルハーバーの公式で使う関のベルヌーイ数とは定義が異なるために、これまであえて小文字で表記してきたのでした。

ベルヌーイ数 $B_k$ の定義は下記のとおりです。
\[
\begin{eqnarray}
B_k &=&-\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k-1} \binom{k+1}{j} B_j \tag{29}\\
B_0 &=& 1 \tag{30}
\end{eqnarray}
\]

$b_k$ の定義とは若干異なりますが、この方が便利なことが多いのです。

本当は上式よりも$B_k$は母関数を使って定義されることが多いのですが、それはまた別の機会に紹介します。

さて、今回はベルヌーイ数の定義とその計算方法について話しましたが、少々計算が面倒ですね。もっと効率的な方法はないのでしょうか。

次回は二項定理に着目したベルヌーイ数の計算方法について説明したいと思います。

次回：ベルヌーイ数 (4):　ベルヌーイ数を求めるアルゴリズム